[Leon-on12]

Кривовато, но сойдёт. elem это обращение к вашему элементу.

var backNum;
	if (localStorage.getItem("whichBack") == null){
		elem.class = "bg1";
		backNum = 2;
		localStorage.setItem("whichBack", backNum);
	}
	else{
		backNum = localStorage.getItem("whichBack");
		elem.class = "bg"+ backNum;
		backNum++;
		if{backNum == 4){
			backNum = 1;
		}
		localStorage.setItem("whichBack", backNum);
	}

Не забудьте приписать ваш класс. Я же вам советую назначить id этому элементу, если он у вас один такой.