[laimas]

$(document).on("submit", ".popup__form", function (e) {
    e.preventDefault();
    var f = this //запомнили текущую форму
    ......
    success: function (result) {
        //f никак не будет равна иной форме
        //а перезагрузка страницы может быть только в том случае
        //если это сделать принудительно, ибо -  e.preventDefault();

Разберитесь с логикой кода своего.