[Sigizmund2012]

у Вас item получает одно и то же значение после каждого клика.

Тут дело не в этом, просто функция update() создаёт новый блок с каналами и все обработчики удаляются. Решается делегированием:

$(function () {
        $(".channelList").on("click", ".delete" , function () {
            var item = channel.indexOf($(this).parent().attr('id'));
            channel.splice(item, 1);
            update();
        });
    });

Что за коллекция?

Вы пытаетесь использовать библиотеку, а не знаете о ней даже базовых вещей. Рекомендую книгу Берб Бибо, Иегуда Кац - "jQuery. Подробное руководство по продвинутому JavaScript", там всё разжёвано. Коллекция jquery в русском издании правда называется "обёрнутый набор".