[ksa]

document.getElementById('text_wait').style.visibil ity="visible";

После этого, все остальное запускай через setTimeout().
Как вариант...

function onApplyChanges(){
    document.getElementById('text_wait').style.visibility="visible";
	setTimeout(function(){
		xmlhttp=new XMLHttpRequest();
		xmlhttp.onreadystatechange=function(){
			if (xmlhttp.readyState==4 && xmlhttp.status==200){
				document.getElementById('text_wait').style.visibility="hidden";
				switch (xmlhttp.response){
					case "0":
						rebootRedirect();
						break;
					case "1":
						alert("Ошибка! Не задан файл для распаковки.")
						break;
					case "2":
						alert("Ошибка! Не найден загруженный файл.")
						break;
					case "3":
						alert("Ошибка! Несовпадение контрольной суммы.")
						break;
					case "4":
						alert("Ошибка при распаковке файла.")
						break;
					case "7":
						alert("Ошибка! В обновлении отсутствует один или больше файлов.")
						break;
					case "8":
						alert("Ошибка! В обновлении файл веб-интерфейса.")
						break;
					default:
						alert("Неизвестная ошибка: "+xmlhttp.response);
						break;

				}
			}
		}
		xmlhttp.open('POST', 'php/unpack.php', false);
		xmlhttp.setRequestHeader("Content-type", "application/x-www-Form-urlencoded");
		xmlhttp.send();
	},1);
};