Если честно не до конца понял всю логику работы вашего скрипта.
Попробуете сделать так:
var dlg = $("#dialog").clone().attr('id', 'dialog_clone');
dlg.dialog({
position: ["left","top"],
title:"Запись новой пары",
// дальше ваш код без изменений
close: function(event, ui) {
dlg.dialog('destroy').remove();
}
// дальше ваш код без изменений
то есть вы создаете копию элемента и далее по коду везде где использовали $(#dialog) используйте его копию dlg