Наверное, уже не актуально, но, кажется, вам нужно вот это:
var a=parseInt(prompt("введіть початок діапазону",""), 10);
var n=parseInt(prompt("введіть кінець діапазону",""), 10) - 1;
alert((1+n)*n/2 - (1+a)*a/2);
1. prompt возвращает строку, а вам нужно работать с числами.
2. Цикл - не очень эффективный способ посчитать сумму чисел от a до n, лучше, например, воспользоваться формулами для суммы арифметической прогрессии
Сорри, не знаю украинского, поэтому ответ на русском. Если есть вопросы, пишите тоже на русском или на английском, пожалуйста.