О все разобрался, подумал немного. Поставил localStorage.setItem('name', gName); в функцию, и заработало. Может сгодиться кому вот готовый код:
<script>
$(function(){
var gName;
$('#go').click(function(){
gName = $('#gText').val();
alert(gName);
localStorage.setItem('name', gName);
});
var loadName = localStorage.getItem('name');
alert(loadName);
});
</script>