[laimas]

Зачем в коде формы <input onclick="AjaxFormRequest();" value="">? Он вообще ничего полезного не делает, выбросить и:

function AjaxFormRequest() {

$(function() {
     $("#order_form").submit(function(e) {         
          e.preventDefault();
         jQuery.ajax({
                    url: 'order.php', //Адрес подгружаемой страницы
                    type: "POST", //Тип запроса
                    dataType: "text", //Тип данных
                    data: jQuery(this).serialize(),
                    success: function(response) { //Если все нормально
                        alert('Сообщение отправлено!');
                    },
                    error: function(response) { //Если ошибка
                        alert('Error!');
                    }
                 });
   });
});

}

Вашу форму можно даже пустой отправить.

PS. dataType - это тип данных ожидаемых от сервера, в коде не видно чтобы сервер вообще отвечал.