[laimas]

$(function() {
    var bLst = $('div.delivery_list').click(function(){
        iLst.slideToggle('fast');
    }).find("span"), 
    aTxt = $("div.delivery_text"),
    iAdr = $('ul.cities_list li').click(function(){
        var i = $(this);
        localStorage.sity = i.index();
        iLst.slideUp('fast');
        bLst.text(i.text());
        aTxt.text(i.data('adr'));
    }), 
    iLst = iAdr.first().parent();

    if(localStorage.sity) {
        bLst.text(iAdr.eq(localStorage.sity).text());
        aTxt.text(iAdr.eq(localStorage.sity).data('adr'));  
    }
});

<li data-adr="Адрес 1">Москва</li> - alt

Хотя прежде чем лезть в localStorage, нужно проверять поддержку его браузером.