[Lemme]

Получается эта строка return false; меня не пускает, но без нее не будет работать правильность ввода данных.
Буду очень благодарен за помощь.

так и есть

if (flag) {
  alert("Вы ввели все поля корректно!\nСпасибо!");
} else {
  return false; // отмена вызова стандартного обработчика onsubmit
}