[vittoS]

на JS было бы так
document.getElementsByClassName('header')[0].style.display = "none";
document.getElementsByClassName('header')[0].classList.add('header_sticky');
через запятую вроде можно, хотя как то странно всегда ; ставят

Кажется до меня начинает доходить по чуть чуть. Переписал так:

//    header scroll
    $(window).scroll(function() {
        if ($(this).scrollTop() > 1) { 
            document.getElementsByClassName('navigation')[0].style.display = "none";   
            document.getElementsByClassName('header')[0].classList.add('header_sticky');
            document.getElementsByClassName('logo')[0].classList.add('logo_sticky'); 
            document.getElementsByClassName('header__switch')[0].style.display = "block";
        } else {
            document.getElementsByClassName('navigation')[0].style.display = "block";
            document.getElementsByClassName('header')[0].classList.remove('header_sticky'); 
            document.getElementsByClassName('logo')[0].classList.remove('logo_sticky'); 
            document.getElementsByClassName('header__switch')[0].style.display = "none";
        }
    }); // end header scroll

А как добавить плавности исчезновению? И что значит нулевой индекс массива ([0]) после объявления селектора класса в инструкции?