[Bologercs]

$('.product-item-price a').on('click', function(e){
  $('#overlay, #popup').show();
  var type1   =  $(this);
});

$('form').on('submit', function(e) {
 $.ajax({
  type: $form.attr('method'),
  url: $form.attr('action'),
  data: type1,
}).done(function() {
  $('form').hide();               
}).fail(function() {
  console.log('fail');
});
  e.preventDefault(); 
});

Есть такой вариант:

$('form').submit();

или

$('form').find('input['type="submit"], button').click();

но советую использовать первый.

$('.product-item-price a').on('click', function(e){
  $('#overlay, #popup').show();
  $('form').submit(); 

  //или второй вариант
  //$('form').find('input['type="submit"], button').click();
});

$('form').on('submit', function(e) {
 $.ajax({
  type: $form.attr('method'),
  url: $form.attr('action'),
  data: type1,
}).done(function() {
  $('form').hide();               
}).fail(function() {
  console.log('fail');
});
  e.preventDefault(); 
});