Я попробовал адаптировать вариант, предложенный
Malleys, но не совсем удачно получилось
var gender = document.getElementById("gender");
gender.addEventListener("click");
genderinp = localStorage.getItem("genderinp");
if (event.target.matches("[name=browser]:checked"))
{
localStorage.setItem("genderinp") = $(event.target.value);
}
genderinp = localStorage.getItem("genderinp");
console.log("Пол - " + genderinp);
Выходит ошибка
"Uncaught TypeError: Failed to execute 'addEventListener' on 'EventTarget': 2 arguments required, but only 1 present."