[laimas]

Можно

$(".sensitive").change(function() {
         
        var src = $(this),
             sensitiveID = src.data('sensitive-target');
             sensitiveTarget = src.data('sensitive');
             action = 'http://birzha/index.php/SensitiveLists/' + sensitiveTarget + '/?' +this.id +'=' + this.value;
             src.attr('rel').value(action);
         
        $('.blue-bg').css('background-color', '#ff0000'); // это как тест того, что на скрипт страница реагирует и меняет синий цвет блока на красный
         
    });

Один раз var, это ради экономии ), а вот получать постоянно $(this) не стоит. Если sensitiveID и прочие переменные объявленные только ради формирования action, зачем их создавать, получить свойство value (атрибуты) элемента можно непосредственно, JQ для этого не нужен.

У связанных списков главное их функционал, а "что на скрипт страница реагирует и меняет синий цвет" лучше решать иначе.