[рони]

он передает в блок hot свойство с чек боксом

не знаю, где это есть в коде

можно как нибудь сделать чтобы передавалось только название?

снова не осилил, как вы по тексту собрались кликать и где этот текст брать...
но возможно вы хотели так ...

$(function() {
    var check = $(".bx-filter-parameters-box-container input:checkbox");
    $(".bx-filter-parameters-box-container").change(function() {
        var clone = $.map(check.filter(":checked"), function(el) {
            return $("<span>", {
                "text": $(el).next().attr("title"),
                "click": function() {
                    $(el).trigger("click")
                }
            })
        });
        $(".hot").html(clone)
    })
});