j0hnik,
откройте для себя
$_REQUEST
зачем trim к полям, про валидацию писали выше
используйте хотя-бы
filter_var
валидация
всегда!!! должна быть и на клиенте и на сервере
$key != "project_name" && $key != "admin_email" && $key != "form_subject"
$validKeys = ['project_name', 'admin_email', 'form_subject'];
if(in_array($key, $validKeys)){}
Для почты распространены
PHPMailer и
swiftmailer
Обои можно ставить через Composer