[laimas]

использовал "translate.owl.carousel" вместо "translated.owl.carousel"

Это разные события. Можно и так события обрабатывать/определять.

var itm; 
$(".owl-carousel").owlCarousel({
    items: 3,
    nav: true,
    loop: true,
    dots: false,
    onInitialized: function(e) {
        itm = $(e.target).find(".owl-item")
        itm.eq(e.item.index + 1).addClass('red')
    },
    onDrag: function(e) {
        itm.removeClass('red')
    },
    onTranslated: function(e) {
        itm.eq(e.item.index + 1).addClass('red')
    }
})