[ksa]

строка 14 выпоняется, те.
sendResponse('просто'); // работает

Тогда уже лучше!

Остается только правильно "оформить" success. Например так

chrome.runtime.onMessage.addListener(
	function(message, sender, sendResponse) {
		$.ajax({
			url: "http://some.site"
			,type: "POST"
			,data: message
			,success: (function(Fnc){
				return function(data){
					Fnc('работает аякс');
				}
			})(sendResponse)
		});
		endResponse('просто');
	}
);