[aston]

<button onclick="act()">Отправить</button> а это зачем?

Со старой формы капипастом досталось Забыл удалить.
А по теме, ну ни как не хочет работать представленный вами вариант, делает редирект на страницу функции. К слову все работает в таком варианте:

<form id="form_act" ction="/options/CORE.Executive.file.Admin.php" method="post">
    <input type="text" name="name" placeholder="имя" required />
    <input type="text" name="phone" placeholder="телефон" required />
    <input type="hidden" name="funNAME" value="Act">
    <button>Отправить</button>
</form>

$(document).ready(function() {

	$('#form_act').submit(function(e) {
        e.preventDefault();
            $.ajax({
                  type: 'post',
                  url: $('#form_act').action,
                  data: $('#form_act').serialize(),
                  dataFilter: function(){
                        location.reload(true);
                  }
            })
    	});
		
});

if ($_POST['funNAME']) {
        $fladmin -> File_great('index1s.php', 'текст для вставки в файл', 'w');
    }

Но мне крайне не хочется копипастить AJAX функцию для каждой формы