[Rasy]

Можно сделать запрос синхронным, что на моей практике никогда не использовалось. Страница зависает, дожидаясь ответа сервера.

function ajaxLoadElements(obj) {
  var response = $.ajax({
    dataType: 'json',
    url: 'ajax.php?action=ajaxLoadElements',
    async: false
  }).responseText;

  if (!response)
    return false;
  return true;
}

А как сделать правильно?

Через асинхронную природу js с использованием коллбэка, чтобы получить значение из функции.

function ajaxLoadElements(obj, callback) {
  $.ajax({
    dataType: 'json',
    url: 'ajax.php?action=ajaxLoadElements',
    success: function(JSONdata){
      if(JSONdata.fail) {
        openModal(JSONdata.type, JSONdata.msg); 
        callback(false);
        return;
      }
      callback(true);
    }
  });
}
ajaxLoadElements({}, function(response) {
  if (response) alert();
});