[Dilettante_Pro]

anstrem,
Сработает более поздний обработчик

<form action="lh-banner" method="" class="widget--form">
                <p class="widget--error_text">Введите корректный e-mail</p>


                <input name="email" class="widget--input" placeholder="e-mail" type="text">

                <div class="agreement">
                    <input id="agreement-val" name="agreement" checked="" type="checkbox">
                    <label for="agreement-val" id="agreement_text"> Я даю своё согласие на обработку персональных данных и принимаю условия </label>
                    <a target="_blank" href="https://site.ru/publichnaya-oferta">Пользовательского соглашения.</a>
                </div>

                <input class="widget--submit" value="Получить бонус" type="submit">
</form>
<script>
// внешний скрипт
    document.querySelector('.widget--form').onsubmit = function(e) {
             e.preventDefault();
             alert('внешний скрипт');
    }
</script>
<script>
// ваш скрипт
    document.querySelector('.widget--form').onsubmit = function(e) {
             e.preventDefault();
             alert(document.querySelector('.widget--input').value);
    }
</script>