По логике вещей сообщение "сообщение отправлено", должно сообщать, что сообщение действительно отправлено. Соответственно вывод сообщения "сообщение отправлено" должно быть сразу после вызова функции отправки, а не просто так.
Но в принципе в конкретном случае будет так:
<?php
$name = $email = $comment = "";
if ($_SERVER["REQUEST_METHOD"] == "POST") {
$name = test_input($_POST["name"]);
$email = test_input($_POST["email"]);
$comment = test_input($_POST["comment"]);
*!*echo "<h2>Сообщение отправлено!</h2>";*/!*
}
...