[Nexus]

ID должен быть уникальным, нельзя на странице объявить несколько элементов с одним id.

Немного изменил вашу функцию "stickEdit":

function stickEdit(){
    $('.table #edit').on('click',  function(){
		var oldname = $(".table #"+$(this).attr('name')).text();
		
		$.post(ajaxurl, {
			action: "stick_mat_type_e",
			name: oldname
		}, function(response){
			var cats=[];
			try{
				if(typeof response=='string')
					cats=$.parseJSON(response);
			}catch(e){
				cats=[];
			};
			
			if(cats.length>1){
				$('input:checkbox:checked').prop('checked', false);
				$.each(cats,function(i){
					$('input:checkbox[value="'+cats[i]+'"]').prop('checked', true);
				});
			}else
				$('input:checkbox[value="'+cats+'"]').prop('checked', true);
			
			$('#stick_text').val(oldname);
			$('html, body').animate({scrollTop:0},500);
			$('#to_complete').empty().text('Изменить');
		});
    });
}