А зачем писать $name,$phone,$email в файл, да еще таким образом задавать строку? Так и задавать - $txt=$name, $phone, $email; или через точку. Что базы нет?
echo "Отправляется...", это бесполезное, ибо никакого отправления вы не получите, отправление отдано sendmail, все, перенаправление. Но если обрабатывать непринятие почтового отправления, то так:
if(mail(...)) {
//какой-то код
header('location:/index.php#openModal'); //это передача заголовка, никаких echo header быть не может
//и учтите, что указывается относительный путь и он должен быть правильным
} else {
echo 'Ошибка отправления почты, попробуйте повторить позже.'
//если не было ошибок приема формы, то есть форма не подключалась, то подключить, иначе пользователь не сможет повторить отправление
if(!$error) include 'form.htm';
}