[laimas]

Почему не работает?

Потому, что нет такого на клиенте, есть data.LI_site.

file_put_contents('st.json',json_encode($i)); - это зачем?

$.getJSON должен обращаться к файлу сценария, который делает запрос к другому домену и сразу возвращает нужное:

<?
if($f = file_get_contents('http://counter.yadro.ru/values?site=devaka.ru')) {
    exit(json_encode(parse_ini_string($f)));
} else exit(json_encode(['error'=>'Text error.']));