[laimas]

я не могу понять алгоритм и с чего начать

Учитесь для начала анализировать код свой.

<form id="form">
while($row = mysqli_fetch_array($rs)) {
echo '

<input name="FIO" type="text" value="' . $row['FIO'] . '">
<input name="Phone" type="text" value="' . $row['Phone'] . '">
<input type="submit" value="Сохранить">
';
}
</form>

Что это будет означать - одна или множество кнопок submit в форме? Ну это же детские ошибки, по поводу которых даже не стоит обращаться на форум.

Почему не читаем что это такое mysqli_fetch_array и что она возвращает по умолчанию? Почему не запрашивается нужное или не используется mysqli_fetch_assoc, или mysqli_fetch_object в таком случае?

Может ли массив иметь одинаковые индексы или ключи? А коли это знаем, то почему вы рассчитываете получить все поля описывающие значения множества записей из базы именуя их одними и теми же именами?

У вас бардак на сервере, а вы ищите ответ на вопрос как на клиенте отправить форму. Наведите порядок на сервере, а затем уже на клиенте ищите ответы.