вставить ваш скрипт непосредственно за этой ссылкой, тогда он выполнится не дожидаясь загрузки следующих DOM элементов.
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Document</title>
</head>
<body>
</html>
<a href="#" class="messenger-contact-list-tabs-tab">ссылка</a>
<script>
document.getElementsByClassName('messenger-contact-list-tabs-tab')[0].click();
</script>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
<a href="#">бла бла</a>
</body>