рекурсия
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Document</title>
<script src="https://code.jquery.com/jquery-3.3.1.min.js"></script>
</head>
<body>
<input type="file" id="file" multiple>
<button onclick="readFile(document.getElementById('file'))">Прочитать!</button>
<div id="text"> </div>
<script type="text/javascript">
function readFile(object)
{
//если вписать сюда alert(); то все работает верно, иначе выводит данные на каждом шаге цикла только из последнего файла
var i=0;
var file = object.files;
var f;
(function fn(){
f = file[i++];
reader = new FileReader();
reader.onload = function(){
document.getElementById('text').innerHTML += reader.result;
document.getElementById('text').innerHTML += "</br>";
if(file[i]) fn();
};
reader.readAsText(f);
})();
}
</script>
</body>
</html>