[Aetae]

Если пишете в ООП, то юзайте навешивание обработчика на объект:

QuizForm.prototype = {
    init: function () {
      this.button.addEventListener('click', this);
      this.setState();
    },
    handleEvent: function (event) { 
      switch(event.type){
        case 'click':
          this.click(event);
          break;
          
        /...
          
      }
    },
    click: function(){
      if (!this.start) this.start = true
      else if (this.start && this.question !== this.messages.questions.length - 1) this.question++
      else {
        this.start = false
        this.question = 0
      }
      this.setState();
    }
    /,,,
  }

Одна из самых недооценённых фич, ИМХО. =\