[Nexus]

Вообще всегда наоборот делают, т.е. присваивают класс тому элементу, который нужно показать, у вас наоборот.

document.querySelector('.header__btn-left').addEventListener('click', sliderLeft);

const sliderLeft = (function() {
    const nodeCollection = document.querySelectorAll('.header__bg');
    const className = 'header__bg_show';

    return function() {
        let index = false;
        nodeCollection.forEach(function(node, i) {
            if (index === false && !node.classList.contains(className))
                index = i;

            node.classList.add(className);
        });

        const node = !!nodeCollection[++index] ? nodeCollection[index] : nodeCollection[0];
        node.classList.remove(className);
    };
})();