jQuery(document).ready(function($){
$('#btn_submit').click(function(){
Есть варик, что вызывается до того, как загружена форма, и поэтому слушатель не устанавливается и поэтому не срабатывает клик.
Я уже намекал, что надо открыть консоль разработчика, и там смотреть результаты "клика", надо в саму ф-цию клика поставить что-нибудь типа console.log('clicked'), что бы убедиться что слушатель установлен и отрабатывает.
После этого, если слушатель работает, нужно убедиться, что нет ошибок при выполнении ajax, посмотреть в разделе "сеть", на предмет, был ли вообще ajax запрос, после клика...