[Chmil]

сделал как Вы описали, теперь по нажатию на кнопку "Посчитать" информация в консоль выводится, но на сервер по прежнему данные не передаются, теперь получается проблема с самим методом ajax:

jQuery(document).ready(function($){	
			$('#lbkg_form').submit(function(e) {
				console.log(1);				
				e.preventDefault();
				$.ajax({
					type: this.method,
					url: this.action,
					dataType: "json", // тип передачи данных - это тип ожидаемых данных от сервера
					data: $(this).serialize(),
					// после получения ответа сервера
					success: function(data){
						$('.messages').html(data.result); // выводим ответ сервера
					}
				});
			});
		});

<?php
/*
* Plugin Name: Lb & Kg
* Description: Перевод веса фунтов в килограммы и наоборот
* Author: Chmil
* Version: 1.0
*/

if (isset($_POST["kg"])) {
	
	//добавил для проверки
	header('Location: http://www.google.com/');
	
	$arr = array('result' => '123456789');
	
	echo json_encode($arr);
	
}

add_shortcode('lbkggetfishbychmil', 'lb_kg_getfish');

function lb_kg_getfish($atts) {
 wp_enqueue_script('lb-kg-script', plugins_url('lb-kg.js', __FILE__), array('jquery'));
 wp_enqueue_style('lb-kg-styles', plugins_url('style.css', __FILE__));
 echo '<div class="form-lb-kg">';
 echo '<form action="' . plugins_url('lb-kg/lb-kg.php') . '" method="POST" id="lbkg_form">';
 echo '<fieldset>';
 echo '<legend>Онлайн конвертер (фунты & килограммы)</legend>';
 echo '<p><input name="kg" id="kg" placeholder="кг"></p>';
 echo '<p><input name="lb" id="lb" placeholder="lb"></p>';
 echo '<input id="btn_submit" type="submit" value="Посчитать" />';
 echo '</fieldset>';
 echo '</form>';
 echo '<div class="messages"></div>';
 echo '</div>';
}

?>