[Nexus]

Как я думаю. По клику onClick={this.handleClick} вызывается функция, в которой ({{index}}) передается текущий итем.

Передается не item, а его index.

handleClick = (i) => {
const newMass = this.state.mass[i];
newMass.like = this.state.mass[i].like +1 ;
this.setState({
mass: newMass
})

У вас в state.mass должен находится массив объектов, а вы после обработки клика записываете в него объект, по которому кликнули.
Попробуйте так:

handleClick = index => {
    const list = this.state.mass;
    const item = list[index];

    item.like += item.click ? -1 : 1;
    item.click = !item.click;

    list[index] = item;

    this.setState({
        mass: list
    });
}