[Aetae]

Во первых попробуй запрос из background скрипта, вроде там ограничений нет.
Во вторых попробуй поставить permission на <all_urls>.

Вот микрорасширение, показывающее отсутствие принципиальных проблем. При заходе на www.joomla.org пишет версию в консоль.

Пример: manifest.json

{
  "name": "joomla",
  "version": "1",
  "manifest_version": 2,
  "content_scripts": [
    {
      "matches": ["*://*.joomla.org/*"],
      "js": ["content.js"]
    }
  ]
}

Пример: content.js

const xhr = new XMLHttpRequest();
xhr.open("GET", 'https://www.joomla.org/language/en-GB/install.xml', true);
xhr.onload = () => console.log(
	'Версия',
	xhr.responseXML.querySelector('version').textContent
); 
xhr.send();