Это нажатие по <div> без tabindex у вас как хлопок одной ладошкой или звук без источника звука... конечно можно изловчиться и нажать мышкой!
За что вы так ненавидите тех, у кого нет мыши?
Используйте <button> (
вы же хотите, чтобы туда нажали, так используйте <button>, это кроссбраузерное решение), в данном случае <div> является совершенно бессмысленным!