[Nexus]

И что б дальше в коде я мог спокойно использовать эту переменную вне всяких функций.

Не проще тогда в callback'е и писать код?

chrome.storage.local.get(['key'], function(result) {
    console.log('Value currently is ' + result.key);
    var valueStorage = result.key;

    alert(valueStorage);
    //do something else
});