[Malleys]

Ленча, вы где-то потеряли вызов finalprice!

Что бы не мучаться с jQuery и со всей этой массой finalprice(), которое должно вызываться при малейшем изменении, вы можете добавить...

setInterval(finalprice, 500);

рядом с function finalprice() {}

//пересчет итоговой суммы и кол-ва итемов
function finalprice() {
	тут считаем	
	$storage = $(document).find(".cart").html();
	localStorage.setItem('01', $storage);               
}
// запоминаем всегда самое новое состояние корзины 
setInterval(finalprice, 500);