Вам cначала нужно войти в skype (
https://web.skype.com/), а затем смотреть свой пример.
Да, это у них ошибка в программе, что если пользователь ещё не вошёл в skype, то там показывается недоделанный интерфейс входа, а если вы уже вошли в skype, то чат на сайте работает нормально.