[laimas]

Luther, у вас же не css анимация, а изменение класса, это асинхронное событие. Тогда сразу по смене класса и выполняйте анимацию:

(function($) {
    
    $.fn.mobileMenu = function(options) {

        var settings = {
            side: 'right',
            width: 300,
            animationSpeed: 600
        };

        //Extend those options
        var options = $.extend(settings, options);

        return this.each(function () {

            var mob = $(this),
                mobMenu = $('.mobile-menu');

            mob.on('click touchend', function () {

                mobMenu.toggleClass('mobile-menu--active');
                mob.toggleClass('hamburger--active');
                mobMenu.animate({right: -options.width + mob.is('.hamburger--active') * options.width}, options.animationSpeed);
                
            });
        });
    };
})(jQuery);

$('.hamburger').mobileMenu();