[Malleys]

Форма при попытке её отправить посылает ajax дополнительный POST-запрос. Если запрос возвращает "ок", форма отправляется, иначе выводится в alert то, что вернул ajax запрос ответ от сервера.

Да, ваш код действительно это делает уже сейчас, при условии, что сервер действительно правильно отвечает!

Почему-то когда ajax сервер возвращает "ok", форма не отправляется сразу, а только при следующей попытке её отправить. Как сделать чтобы форма в этом случае сразу отправлялась?

Предоставленный код отправляет форму сразу в случае получения положительного ответа от сервера. Кстати ваш код можно изменить...

(function() {
	var isAllowedToSubmit = false;

	$("#new_item_form").on("submit", function(event) {
		if(isAllowedToSubmit) return true;

		event.preventDefault();
		$.post("ajax_unique_name.php", {
			name: $("#input_name").val()
		}).done(function(data) {
			if(data === "ok") {
				isAllowedToSubmit = true;
				$("#new_item_form").submit();
				isAllowedToSubmit = false;
			} else {
				alert(data);
			}
		});
	});
})();

Не используйте слово «ajax» для обозначения случайных вещей, сложно понимать людей, которые используют выражение «асинхронный JavaScript и XML» для обозначения совершенно других вещей!