[artem99357]

Может пригодится, Сделал так:

Добавил id кнопкам

<div class="buttons-parent">
<button data-toggle="modal" data-target="#feedback-form" type="submit" id="button1">Отправить</button>

<button data-toggle="modal" data-target="#feedback-form" type="submit" id="button2">Отправить</button>

<button data-toggle="modal" data-target="#feedback-form" type="submit" id="button3">Отправить</button>
</div>

В саму форму добавил скрытое поле
<input type="hidden" name="but" id="input-type-hide" value="here">

<form class="form-header" id="form" method="post" name="form">
<div class="form-group">
<input type="hidden" name="but" id="input-type-hide" value="here">
<input class="form-control input-lg" name="name" id="name" type="text" placeholder="Ваше имя *" required>
<input class="form-control input-lg" name="phone" id="phone" type="text" placeholder="Телефон для связи *" required>
</div>
<div class="form-group">
<button class="btn"><span class="text-button">Отправить</span></button>
</div>
</form>

В PHP добавил имя скрытого поля
$but = trim($_POST["but"]);

$recepient = "Почта";
$siteName = "Сайт";

$name = trim($_POST["name"]);
$phone = trim($_POST["phone"]);
$but = trim($_POST["but"]);

$message = "Имя: $name \nТелефон: $phone \nКнопка: $but";
$pagetitle = "Заявка с сайта \"$siteName\"";
mail($recepient, $pagetitle, $message, "Content-type: text/plain; charset=\"utf-8\"\n From: $recepient");
?>

И в JS добавил

$(document).ready(function (){
    // 1 кнопка
    $('.buttons-parent').on('click', '#button1', function() {
        $('#input-type-hide').val('Назание 1 кнопки');
    });

    // 2 кнопка
    $('.buttons-parent').on('click', '#button2', function() {
        $('#input-type-hide').val('Назание 2 кнопки');
    });
    
    // 3 кнопка
    $('.buttons-parent').on('click', '#button3', function() {
        $('#input-type-hide').val('Назание 3 кнопки');
    });
});

не знаю, правильно ли всё, но работает.