[Pavel_16]

Pavel_16,
для отработки игры без сервера, к вашему получению данных с сервера есть вопросы, вы не учитываите время ответа сервера.

ПО ИТОГУ
ПОЛУЧАЕТСЯ ТАК:

$(document).ready(function () {

  if (localStorage.getItem("users") === null) {
    localStorage.setItem("users", JSON.stringify([]));
  }

  let users = JSON.parse(localStorage.getItem("users"));
  let userName = localStorage.getItem("userName");
  let time = localStorage.getItem("time")
  users.push({ userName, time });
  localStorage.setItem("users", JSON.stringify(users));
  for (const item of users) console.log(item);

  var $select = $('#name');
  $select.ready(function (event) {
    $.each(JSON.parse(users), function (key, value) {
      $('<option>').val(value.name).text(value.name).appendTo($select);
    });
  });

  $('#play_game').click(function () {
    var userName = $('#new_name').val();
    var newUser = { name: userName };
    users = JSON.parse(users);
    users.push(newUser);
    console.log(users);
    localStorage.setItem("users", JSON.stringify(users));
  });
});

Только куда прикрутить вот это не понял:?!

let userName = document.getElementById('new_name').value;
 localStorage.setItem("userName", userName)

а наверное с 22-