[voraa]

Т.е. в onmessage при получении очередного сообщения я его просто обрабатываю и уверена, что пока не закончу обработку, сервер больше ничего не отправит. А если хочу обрабатывать быстро и параллельно, то, получая сообщение в onmessage, каким-то образом должна создать что-то типа отдельного потока, передать ему сообщение и быстро выйти из onmessage, чтобы сервер продолжил передавать данные.
Веб-воркеры - потоки, принадлежащие браузеру. А у меня клиент не браузерный. Выходит, надо искать что-то другое.

Нет. Такой уверенности быть не должно. Сервер может отправлять данные когда ему вздумается. Данные будут буферизироваться и обрабатываться клиентом по мере готовности.
Чтобы обеспечить параллельную обработку (в другом потоке) нужен Worker, они есть не только в браузерах. В Node тоже есть.