Если у вас все работает на jQery, то можно взять просто текст, при этом теги будут вырезаны (1). То есть не только BR, а все имеющиеся. Если другие теги нужно сохранить, значит берем html и рег. выражением вырезаем только нужное (2).
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1/jquery.min.js"></script>
</head>
<body>
<p id="a">Text <b>text</b> <br/> text</p>
<p id="b"></p>
<p id="c"></p>
<script>
$('#b').html($('#a').text());
$('#c').html($('#a').html().replace(/<br.?>/g, ''));
</script>
</body>
</html>
PS. Если не JQ и все теги не нужны, то тоже самое будет
document.querySelector('#b').textContent = document.querySelector('#a').textContent;