1. Сохраняй сообщения в массив (let temp = []) перед выводом в HTML.
Добавить сообщение в массив: temp.push(inp.value);
2. Дальше записывай в хранилище массив temp (но его нужно сначала привести к JSON). Вот функция:
function setInp(temp) {
localStorage.setItem('saveInp', JSON.stringify(temp));
}
3. При загрузке страницы - функция, которая читает:
function getInp() {
temp = JSON.parse(localStorage.getItem('saveInp'));
}
4. Теперь в массиве temp есть все сообщения и их нужно только вывести циклом в HTML.