[Malleys]

То, как вы используете понятие приватность, не имеет особого смысла. Для лучшего контроля над свойством его делают приватным, а запись значения осуществляется через специальный метод, который называют, если записать при помощи IPA, [ˈsɛɾəɹ] (setter method) и чтение значения осуществляется через специальный метод, который называют [ˈkɛɾəɹ] или [ˈɡɛɾəɹ] (getter method).

При помощи приватного свойства...

<input class="sex-btn" type="button" value="m">
<input class="sex-btn" type="button" value="f">
<script>
    class User {
        #sex = null;

        constructor(sex) {
            this.sex = sex;

            document.querySelectorAll('.sex-btn').forEach(btn => {
                btn.addEventListener('click', () => {
                    console.log('before', this.sex)
                    this.sex = btn.value;
                    console.log('after', this.sex)
                });
            });
        }

        set sex(sex) {
            if(sex !== "m" && sex !== "f")
                throw new Error(`The provided value '${sex}' is not a valid enum value of type UserSex—use 'm' or 'f'.`);

            this.#sex = sex;
        }
 
        get sex() {
            return this.#sex;
        }
    }

    let user = new User('m'); // неправильные значения типа test будут вызывать исключение
    user.sex = 123;
</script>

При помощи ассоциативного массива... (подойдет для браузеров, где не поддерживаются приватные свойства)

<input class="sex-btn" type="button" value="m">
<input class="sex-btn" type="button" value="f">
<script>
    const User = (() => {

    const userSex = new WeakMap();

    return class User {
        constructor(sex) {
            this.sex = sex;

            document.querySelectorAll('.sex-btn').forEach(btn => {
                btn.addEventListener('click', () => {
                    console.log('before', this.sex)
                    this.sex = btn.value;
                    console.log('after', this.sex)
                });
            });
        }

        set sex(sex) {
            if(sex !== "m" && sex !== "f")
                throw new Error(`The provided value '${sex}' is not a valid enum value of type UserSex—use 'm' or 'f'.`);

            userSex.set(this, sex);
        }
 
        get sex() {
            return userSex.get(this);
        }
    }
    })();

    let user = new User('m');
    user.sex = 123;
</script>

Теперь в поле sex хранится всегда правильное значение — либо 'm', либо 'f'.

Поскольку класс User похож на модель, то скорей всего вам нужно вынести работу с DOM из его определения.