[laimas]

Напишу на CSS выдвижение меню, более не буду ничего смотреть, некогда.

В CSS:

#menu > ul {
		width: 300px;
	background: #778899;
	background: rgba(119, 136, 153);
		text-align: left;
		position: absolute !important;
        top: 48px;
        /* добавили это */
        right: -300px;
        transition: right 0.5s;
	}
    
    /* и добавили это */
    #menu > ul.show {
        right: 0;
    }

В коде страницы сразу добавляем кнопку скрытой для большого разрешения (hidden-md)

<div class="core" id="menu">
	    <div class="navbar hidden-md">
            <strong>
                <!-- значение атрибутов расставите -->
                <a href="#">
                    <img src="#" alt="#" />
                </a>
            </strong>
            <button class="toggle" title="Меню">
                <span></span><span></span><span></span>
            </button>
        </div>
.....

В JS:

(function($) {
	$.fn.menu = function() {
        
        //передавать параметр right не надо, он определяется в CSS 
		var b = this.find('button'), //кнопка
            m = this.children('ul'); //меню

		this.each(function() {
			
            //управляем анимацией меню
            b.on('click', function() {
				m.toggleClass('show')
            });

//код далее

PS. Я бы это b = this.find('button'), //кнопка, заменил на this.children('.navbar'), //кнопка, ибо не понять зачем strong с содержимым, а если нужен, то почему по нему нельзя меню показывать.