Не заметил добавленного.
На каком сервере это исполняется, на удаленном или локальном? Учтите, вываливать ошибки на удаленном сервере не стоит, это почва для анализа не только для вас будет.
Notice: Undefined index ... это не ошибка, а предупреждение, что индекс q не определен в массиве $_POST, а неопределенное это null, следовательно и на выводе ничего не будет. На удаленном сервере вывод предупреждений подавляется, а ошибки пишут в лог файлы.
Параметры подключения к базе, это не имя сервера, а host, он и на удаленном сервере может быть как localhost. На локальном сервере уже есть по умолчанию установки из ini-файла: server = localhost:3306, user = root, password = "". Для отладки этого и достаточно, а на удаленном параметры хоста вам определит хостер.
localStorage.setItem('user', JSON.stringify(data)); - здесь в локальное хранилище записывается строка которую возвращает JSON.stringify, и это потому, что нельзя в локальное хранилище записать объект, все что в хранилище, это строки - ключи и их значения.
data = JSON.parse(localStorage.getItem('user')); - это декодирование json из локального хранилища, после которого data будет объектом. Поэтому подставив его тут url: 'save.php?q='+data, и получим вывод save.php?q=[object Object]. Правильно было бы
data = localStorage.getItem('user');
//....
url: 'save.php?q='+data
Но в этом случае на сервер бы ушел json как GET параметр, а вы определяете метод передачи POST, ничего не передавая, какой смысл? Поэтому удаляем его из url и передаем как POST - data: {q: data}. А на сервере декодировать $data = json_decode($_POST['q']);
Можно определить для передачи и объект:
var data = JSON.parse(localStorage.getItem('user'));
//а в $.ajax данные
data: data,
//об остальном это забота JQ
В этом случае на сервере print_r($_POST) выдаст ассоциативный массив. Ниже представленный код сохраните под любым именем как php и запустите его. Сервер получит POST данные в массиве $_POST и выведет их в браузер.
<?php
if($_POST) exit(print_r($_POST, 1));
?>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1/jquery.min.js"></script>
<script>
$(function() {
//это объект
var data = {"cod":"200","message":0,"cnt":40,"city":{"id":524901,"name":"Moscow","country":"RU","population":1000000,"timezone":10800,"sunrise":1592441057,"sunset":1592504230}};
$.ajax({
url: location,
type: 'POST',
data: data,
success: function(d) {
alert(d)
}
})
});
</script>
</head>
<body>
</body>
</html>
А у вас не работает потому, что вы в чем-то допускаете ошибки.