[laimas]

<select name="period">
    <option value="">Выберите срок</option>
    <option value="10">10 лет</option>
    <option value="15">15 лет</option>
    <option value="other">Другое</option>
</select>

<script>
document.querySelector('select[name=period]').addEventListener('change', function() {
    if(this.value=='other') {
        let field = document.createElement("input");
        field.name = this.value;
        this.after(field) 
    } else {
        let field = document.querySelector('input[name=other]'); 
        if(field) this.parentNode.removeChild(field)
    }
});</script>

Подразумевается, что созданное поле получая имя как значение опции Другое, отправит значение выбранное для опции, то есть серверу можно проверять наличие ключа other, если нет, значит получаем значение списка.