[Сергей Ракипов]

Вот я что то подобное что мне нужно сделал, в песочности

const body = document.querySelector("body");
const knopka_1 = document.querySelector(".knopka_1");
const knopka_2 = document.querySelector(".knopka_2");

let fun_knopka_1 = () => {
	body.classList.add("belyi_fon");
	body.classList.remove("chernyi_fon");

	localStorage.setItem("belyi_fon", "belyi_fon");
	localStorage.removeItem("chernyi_fon");
}
knopka_1.addEventListener("click", fun_knopka_1);

let fun_knopka_2 = () => {
	body.classList.remove("belyi_fon");
	body.classList.add("chernyi_fon");

	localStorage.setItem("chernyi_fon", "chernyi_fon");
	localStorage.removeItem("belyi_fon");
}
knopka_2.addEventListener("click", fun_knopka_2);

let fun_1 = () => {
	if (localStorage.getItem("chernyi_fon")!==null){
		body.className = "chernyi_fon";
	}
}
window.addEventListener("load", fun_1);


let fun_2 = () => {
	if (localStorage.getItem("belyi_fon")!==null){
		body.className = "belyi_fon";
	}
}
window.addEventListener("load", fun_2);

Но понимаю что это не самое лучше решение.